3.488 \(\int \frac{1}{x^{5/2} (-a+b x)^3} \, dx\)

Optimal. Leaf size=97 \[ -\frac{35 b^{3/2} \tanh ^{-1}\left (\frac{\sqrt{b} \sqrt{x}}{\sqrt{a}}\right )}{4 a^{9/2}}+\frac{35 b}{4 a^4 \sqrt{x}}+\frac{35}{12 a^3 x^{3/2}}-\frac{7}{4 a^2 x^{3/2} (a-b x)}-\frac{1}{2 a x^{3/2} (a-b x)^2} \]

[Out]

35/(12*a^3*x^(3/2)) + (35*b)/(4*a^4*Sqrt[x]) - 1/(2*a*x^(3/2)*(a - b*x)^2) - 7/(
4*a^2*x^(3/2)*(a - b*x)) - (35*b^(3/2)*ArcTanh[(Sqrt[b]*Sqrt[x])/Sqrt[a]])/(4*a^
(9/2))

_______________________________________________________________________________________

Rubi [A]  time = 0.0812434, antiderivative size = 97, normalized size of antiderivative = 1., number of steps used = 6, number of rules used = 4, integrand size = 15, \(\frac{\text{number of rules}}{\text{integrand size}}\) = 0.267 \[ -\frac{35 b^{3/2} \tanh ^{-1}\left (\frac{\sqrt{b} \sqrt{x}}{\sqrt{a}}\right )}{4 a^{9/2}}+\frac{35 b}{4 a^4 \sqrt{x}}+\frac{35}{12 a^3 x^{3/2}}-\frac{7}{4 a^2 x^{3/2} (a-b x)}-\frac{1}{2 a x^{3/2} (a-b x)^2} \]

Antiderivative was successfully verified.

[In]  Int[1/(x^(5/2)*(-a + b*x)^3),x]

[Out]

35/(12*a^3*x^(3/2)) + (35*b)/(4*a^4*Sqrt[x]) - 1/(2*a*x^(3/2)*(a - b*x)^2) - 7/(
4*a^2*x^(3/2)*(a - b*x)) - (35*b^(3/2)*ArcTanh[(Sqrt[b]*Sqrt[x])/Sqrt[a]])/(4*a^
(9/2))

_______________________________________________________________________________________

Rubi in Sympy [A]  time = 16.0205, size = 88, normalized size = 0.91 \[ - \frac{1}{2 a x^{\frac{3}{2}} \left (a - b x\right )^{2}} - \frac{7}{4 a^{2} x^{\frac{3}{2}} \left (a - b x\right )} + \frac{35}{12 a^{3} x^{\frac{3}{2}}} + \frac{35 b}{4 a^{4} \sqrt{x}} - \frac{35 b^{\frac{3}{2}} \operatorname{atanh}{\left (\frac{\sqrt{b} \sqrt{x}}{\sqrt{a}} \right )}}{4 a^{\frac{9}{2}}} \]

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]  rubi_integrate(1/x**(5/2)/(b*x-a)**3,x)

[Out]

-1/(2*a*x**(3/2)*(a - b*x)**2) - 7/(4*a**2*x**(3/2)*(a - b*x)) + 35/(12*a**3*x**
(3/2)) + 35*b/(4*a**4*sqrt(x)) - 35*b**(3/2)*atanh(sqrt(b)*sqrt(x)/sqrt(a))/(4*a
**(9/2))

_______________________________________________________________________________________

Mathematica [A]  time = 0.0731219, size = 82, normalized size = 0.85 \[ \frac{8 a^3+56 a^2 b x-175 a b^2 x^2+105 b^3 x^3}{12 a^4 x^{3/2} (a-b x)^2}-\frac{35 b^{3/2} \tanh ^{-1}\left (\frac{\sqrt{b} \sqrt{x}}{\sqrt{a}}\right )}{4 a^{9/2}} \]

Antiderivative was successfully verified.

[In]  Integrate[1/(x^(5/2)*(-a + b*x)^3),x]

[Out]

(8*a^3 + 56*a^2*b*x - 175*a*b^2*x^2 + 105*b^3*x^3)/(12*a^4*x^(3/2)*(a - b*x)^2)
- (35*b^(3/2)*ArcTanh[(Sqrt[b]*Sqrt[x])/Sqrt[a]])/(4*a^(9/2))

_______________________________________________________________________________________

Maple [A]  time = 0.023, size = 69, normalized size = 0.7 \[ 2\,{\frac{{b}^{2}}{{a}^{4}} \left ({\frac{1}{ \left ( bx-a \right ) ^{2}} \left ({\frac{11\,b{x}^{3/2}}{8}}-{\frac{13\,a\sqrt{x}}{8}} \right ) }-{\frac{35}{8\,\sqrt{ab}}{\it Artanh} \left ({\frac{b\sqrt{x}}{\sqrt{ab}}} \right ) } \right ) }+{\frac{2}{3\,{a}^{3}}{x}^{-{\frac{3}{2}}}}+6\,{\frac{b}{{a}^{4}\sqrt{x}}} \]

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]  int(1/x^(5/2)/(b*x-a)^3,x)

[Out]

2/a^4*b^2*((11/8*b*x^(3/2)-13/8*a*x^(1/2))/(b*x-a)^2-35/8/(a*b)^(1/2)*arctanh(x^
(1/2)*b/(a*b)^(1/2)))+2/3/a^3/x^(3/2)+6*b/a^4/x^(1/2)

_______________________________________________________________________________________

Maxima [F]  time = 0., size = 0, normalized size = 0. \[ \text{Exception raised: ValueError} \]

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]  integrate(1/((b*x - a)^3*x^(5/2)),x, algorithm="maxima")

[Out]

Exception raised: ValueError

_______________________________________________________________________________________

Fricas [A]  time = 0.225546, size = 1, normalized size = 0.01 \[ \left [\frac{210 \, b^{3} x^{3} - 350 \, a b^{2} x^{2} + 112 \, a^{2} b x + 16 \, a^{3} + 105 \,{\left (b^{3} x^{3} - 2 \, a b^{2} x^{2} + a^{2} b x\right )} \sqrt{x} \sqrt{\frac{b}{a}} \log \left (\frac{b x - 2 \, a \sqrt{x} \sqrt{\frac{b}{a}} + a}{b x - a}\right )}{24 \,{\left (a^{4} b^{2} x^{3} - 2 \, a^{5} b x^{2} + a^{6} x\right )} \sqrt{x}}, \frac{105 \, b^{3} x^{3} - 175 \, a b^{2} x^{2} + 56 \, a^{2} b x + 8 \, a^{3} + 105 \,{\left (b^{3} x^{3} - 2 \, a b^{2} x^{2} + a^{2} b x\right )} \sqrt{x} \sqrt{-\frac{b}{a}} \arctan \left (\frac{a \sqrt{-\frac{b}{a}}}{b \sqrt{x}}\right )}{12 \,{\left (a^{4} b^{2} x^{3} - 2 \, a^{5} b x^{2} + a^{6} x\right )} \sqrt{x}}\right ] \]

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]  integrate(1/((b*x - a)^3*x^(5/2)),x, algorithm="fricas")

[Out]

[1/24*(210*b^3*x^3 - 350*a*b^2*x^2 + 112*a^2*b*x + 16*a^3 + 105*(b^3*x^3 - 2*a*b
^2*x^2 + a^2*b*x)*sqrt(x)*sqrt(b/a)*log((b*x - 2*a*sqrt(x)*sqrt(b/a) + a)/(b*x -
a)))/((a^4*b^2*x^3 - 2*a^5*b*x^2 + a^6*x)*sqrt(x)), 1/12*(105*b^3*x^3 - 175*a*b
^2*x^2 + 56*a^2*b*x + 8*a^3 + 105*(b^3*x^3 - 2*a*b^2*x^2 + a^2*b*x)*sqrt(x)*sqrt
(-b/a)*arctan(a*sqrt(-b/a)/(b*sqrt(x))))/((a^4*b^2*x^3 - 2*a^5*b*x^2 + a^6*x)*sq
rt(x))]

_______________________________________________________________________________________

Sympy [A]  time = 27.7219, size = 7891, normalized size = 81.35 \[ \text{result too large to display} \]

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]  integrate(1/x**(5/2)/(b*x-a)**3,x)

[Out]

Piecewise((210*a**(59/2)*b**2*x**2*acoth(sqrt(b)*sqrt(x)/sqrt(a))/(-24*a**34*sqr
t(b)*x**2 + 216*a**33*b**(3/2)*x**3 - 864*a**32*b**(5/2)*x**4 + 2016*a**31*b**(7
/2)*x**5 - 3024*a**30*b**(9/2)*x**6 + 3024*a**29*b**(11/2)*x**7 - 2016*a**28*b**
(13/2)*x**8 + 864*a**27*b**(15/2)*x**9 - 216*a**26*b**(17/2)*x**10 + 24*a**25*b*
*(19/2)*x**11) + 105*I*pi*a**(59/2)*b**2*x**2/(-24*a**34*sqrt(b)*x**2 + 216*a**3
3*b**(3/2)*x**3 - 864*a**32*b**(5/2)*x**4 + 2016*a**31*b**(7/2)*x**5 - 3024*a**3
0*b**(9/2)*x**6 + 3024*a**29*b**(11/2)*x**7 - 2016*a**28*b**(13/2)*x**8 + 864*a*
*27*b**(15/2)*x**9 - 216*a**26*b**(17/2)*x**10 + 24*a**25*b**(19/2)*x**11) - 189
0*a**(57/2)*b**3*x**3*acoth(sqrt(b)*sqrt(x)/sqrt(a))/(-24*a**34*sqrt(b)*x**2 + 2
16*a**33*b**(3/2)*x**3 - 864*a**32*b**(5/2)*x**4 + 2016*a**31*b**(7/2)*x**5 - 30
24*a**30*b**(9/2)*x**6 + 3024*a**29*b**(11/2)*x**7 - 2016*a**28*b**(13/2)*x**8 +
864*a**27*b**(15/2)*x**9 - 216*a**26*b**(17/2)*x**10 + 24*a**25*b**(19/2)*x**11
) - 945*I*pi*a**(57/2)*b**3*x**3/(-24*a**34*sqrt(b)*x**2 + 216*a**33*b**(3/2)*x*
*3 - 864*a**32*b**(5/2)*x**4 + 2016*a**31*b**(7/2)*x**5 - 3024*a**30*b**(9/2)*x*
*6 + 3024*a**29*b**(11/2)*x**7 - 2016*a**28*b**(13/2)*x**8 + 864*a**27*b**(15/2)
*x**9 - 216*a**26*b**(17/2)*x**10 + 24*a**25*b**(19/2)*x**11) + 7560*a**(55/2)*b
**4*x**4*acoth(sqrt(b)*sqrt(x)/sqrt(a))/(-24*a**34*sqrt(b)*x**2 + 216*a**33*b**(
3/2)*x**3 - 864*a**32*b**(5/2)*x**4 + 2016*a**31*b**(7/2)*x**5 - 3024*a**30*b**(
9/2)*x**6 + 3024*a**29*b**(11/2)*x**7 - 2016*a**28*b**(13/2)*x**8 + 864*a**27*b*
*(15/2)*x**9 - 216*a**26*b**(17/2)*x**10 + 24*a**25*b**(19/2)*x**11) + 3780*I*pi
*a**(55/2)*b**4*x**4/(-24*a**34*sqrt(b)*x**2 + 216*a**33*b**(3/2)*x**3 - 864*a**
32*b**(5/2)*x**4 + 2016*a**31*b**(7/2)*x**5 - 3024*a**30*b**(9/2)*x**6 + 3024*a*
*29*b**(11/2)*x**7 - 2016*a**28*b**(13/2)*x**8 + 864*a**27*b**(15/2)*x**9 - 216*
a**26*b**(17/2)*x**10 + 24*a**25*b**(19/2)*x**11) - 17640*a**(53/2)*b**5*x**5*ac
oth(sqrt(b)*sqrt(x)/sqrt(a))/(-24*a**34*sqrt(b)*x**2 + 216*a**33*b**(3/2)*x**3 -
864*a**32*b**(5/2)*x**4 + 2016*a**31*b**(7/2)*x**5 - 3024*a**30*b**(9/2)*x**6 +
3024*a**29*b**(11/2)*x**7 - 2016*a**28*b**(13/2)*x**8 + 864*a**27*b**(15/2)*x**
9 - 216*a**26*b**(17/2)*x**10 + 24*a**25*b**(19/2)*x**11) - 8820*I*pi*a**(53/2)*
b**5*x**5/(-24*a**34*sqrt(b)*x**2 + 216*a**33*b**(3/2)*x**3 - 864*a**32*b**(5/2)
*x**4 + 2016*a**31*b**(7/2)*x**5 - 3024*a**30*b**(9/2)*x**6 + 3024*a**29*b**(11/
2)*x**7 - 2016*a**28*b**(13/2)*x**8 + 864*a**27*b**(15/2)*x**9 - 216*a**26*b**(1
7/2)*x**10 + 24*a**25*b**(19/2)*x**11) + 26460*a**(51/2)*b**6*x**6*acoth(sqrt(b)
*sqrt(x)/sqrt(a))/(-24*a**34*sqrt(b)*x**2 + 216*a**33*b**(3/2)*x**3 - 864*a**32*
b**(5/2)*x**4 + 2016*a**31*b**(7/2)*x**5 - 3024*a**30*b**(9/2)*x**6 + 3024*a**29
*b**(11/2)*x**7 - 2016*a**28*b**(13/2)*x**8 + 864*a**27*b**(15/2)*x**9 - 216*a**
26*b**(17/2)*x**10 + 24*a**25*b**(19/2)*x**11) + 13230*I*pi*a**(51/2)*b**6*x**6/
(-24*a**34*sqrt(b)*x**2 + 216*a**33*b**(3/2)*x**3 - 864*a**32*b**(5/2)*x**4 + 20
16*a**31*b**(7/2)*x**5 - 3024*a**30*b**(9/2)*x**6 + 3024*a**29*b**(11/2)*x**7 -
2016*a**28*b**(13/2)*x**8 + 864*a**27*b**(15/2)*x**9 - 216*a**26*b**(17/2)*x**10
+ 24*a**25*b**(19/2)*x**11) - 26460*a**(49/2)*b**7*x**7*acoth(sqrt(b)*sqrt(x)/s
qrt(a))/(-24*a**34*sqrt(b)*x**2 + 216*a**33*b**(3/2)*x**3 - 864*a**32*b**(5/2)*x
**4 + 2016*a**31*b**(7/2)*x**5 - 3024*a**30*b**(9/2)*x**6 + 3024*a**29*b**(11/2)
*x**7 - 2016*a**28*b**(13/2)*x**8 + 864*a**27*b**(15/2)*x**9 - 216*a**26*b**(17/
2)*x**10 + 24*a**25*b**(19/2)*x**11) - 13230*I*pi*a**(49/2)*b**7*x**7/(-24*a**34
*sqrt(b)*x**2 + 216*a**33*b**(3/2)*x**3 - 864*a**32*b**(5/2)*x**4 + 2016*a**31*b
**(7/2)*x**5 - 3024*a**30*b**(9/2)*x**6 + 3024*a**29*b**(11/2)*x**7 - 2016*a**28
*b**(13/2)*x**8 + 864*a**27*b**(15/2)*x**9 - 216*a**26*b**(17/2)*x**10 + 24*a**2
5*b**(19/2)*x**11) + 17640*a**(47/2)*b**8*x**8*acoth(sqrt(b)*sqrt(x)/sqrt(a))/(-
24*a**34*sqrt(b)*x**2 + 216*a**33*b**(3/2)*x**3 - 864*a**32*b**(5/2)*x**4 + 2016
*a**31*b**(7/2)*x**5 - 3024*a**30*b**(9/2)*x**6 + 3024*a**29*b**(11/2)*x**7 - 20
16*a**28*b**(13/2)*x**8 + 864*a**27*b**(15/2)*x**9 - 216*a**26*b**(17/2)*x**10 +
24*a**25*b**(19/2)*x**11) + 8820*I*pi*a**(47/2)*b**8*x**8/(-24*a**34*sqrt(b)*x*
*2 + 216*a**33*b**(3/2)*x**3 - 864*a**32*b**(5/2)*x**4 + 2016*a**31*b**(7/2)*x**
5 - 3024*a**30*b**(9/2)*x**6 + 3024*a**29*b**(11/2)*x**7 - 2016*a**28*b**(13/2)*
x**8 + 864*a**27*b**(15/2)*x**9 - 216*a**26*b**(17/2)*x**10 + 24*a**25*b**(19/2)
*x**11) - 7560*a**(45/2)*b**9*x**9*acoth(sqrt(b)*sqrt(x)/sqrt(a))/(-24*a**34*sqr
t(b)*x**2 + 216*a**33*b**(3/2)*x**3 - 864*a**32*b**(5/2)*x**4 + 2016*a**31*b**(7
/2)*x**5 - 3024*a**30*b**(9/2)*x**6 + 3024*a**29*b**(11/2)*x**7 - 2016*a**28*b**
(13/2)*x**8 + 864*a**27*b**(15/2)*x**9 - 216*a**26*b**(17/2)*x**10 + 24*a**25*b*
*(19/2)*x**11) - 3780*I*pi*a**(45/2)*b**9*x**9/(-24*a**34*sqrt(b)*x**2 + 216*a**
33*b**(3/2)*x**3 - 864*a**32*b**(5/2)*x**4 + 2016*a**31*b**(7/2)*x**5 - 3024*a**
30*b**(9/2)*x**6 + 3024*a**29*b**(11/2)*x**7 - 2016*a**28*b**(13/2)*x**8 + 864*a
**27*b**(15/2)*x**9 - 216*a**26*b**(17/2)*x**10 + 24*a**25*b**(19/2)*x**11) + 18
90*a**(43/2)*b**10*x**10*acoth(sqrt(b)*sqrt(x)/sqrt(a))/(-24*a**34*sqrt(b)*x**2
+ 216*a**33*b**(3/2)*x**3 - 864*a**32*b**(5/2)*x**4 + 2016*a**31*b**(7/2)*x**5 -
3024*a**30*b**(9/2)*x**6 + 3024*a**29*b**(11/2)*x**7 - 2016*a**28*b**(13/2)*x**
8 + 864*a**27*b**(15/2)*x**9 - 216*a**26*b**(17/2)*x**10 + 24*a**25*b**(19/2)*x*
*11) + 945*I*pi*a**(43/2)*b**10*x**10/(-24*a**34*sqrt(b)*x**2 + 216*a**33*b**(3/
2)*x**3 - 864*a**32*b**(5/2)*x**4 + 2016*a**31*b**(7/2)*x**5 - 3024*a**30*b**(9/
2)*x**6 + 3024*a**29*b**(11/2)*x**7 - 2016*a**28*b**(13/2)*x**8 + 864*a**27*b**(
15/2)*x**9 - 216*a**26*b**(17/2)*x**10 + 24*a**25*b**(19/2)*x**11) - 210*a**(41/
2)*b**11*x**11*acoth(sqrt(b)*sqrt(x)/sqrt(a))/(-24*a**34*sqrt(b)*x**2 + 216*a**3
3*b**(3/2)*x**3 - 864*a**32*b**(5/2)*x**4 + 2016*a**31*b**(7/2)*x**5 - 3024*a**3
0*b**(9/2)*x**6 + 3024*a**29*b**(11/2)*x**7 - 2016*a**28*b**(13/2)*x**8 + 864*a*
*27*b**(15/2)*x**9 - 216*a**26*b**(17/2)*x**10 + 24*a**25*b**(19/2)*x**11) - 105
*I*pi*a**(41/2)*b**11*x**11/(-24*a**34*sqrt(b)*x**2 + 216*a**33*b**(3/2)*x**3 -
864*a**32*b**(5/2)*x**4 + 2016*a**31*b**(7/2)*x**5 - 3024*a**30*b**(9/2)*x**6 +
3024*a**29*b**(11/2)*x**7 - 2016*a**28*b**(13/2)*x**8 + 864*a**27*b**(15/2)*x**9
- 216*a**26*b**(17/2)*x**10 + 24*a**25*b**(19/2)*x**11) - 16*a**31*sqrt(b)*sqrt
(x)/(-24*a**34*sqrt(b)*x**2 + 216*a**33*b**(3/2)*x**3 - 864*a**32*b**(5/2)*x**4
+ 2016*a**31*b**(7/2)*x**5 - 3024*a**30*b**(9/2)*x**6 + 3024*a**29*b**(11/2)*x**
7 - 2016*a**28*b**(13/2)*x**8 + 864*a**27*b**(15/2)*x**9 - 216*a**26*b**(17/2)*x
**10 + 24*a**25*b**(19/2)*x**11) + 798*a**29*b**(5/2)*x**(5/2)/(-24*a**34*sqrt(b
)*x**2 + 216*a**33*b**(3/2)*x**3 - 864*a**32*b**(5/2)*x**4 + 2016*a**31*b**(7/2)
*x**5 - 3024*a**30*b**(9/2)*x**6 + 3024*a**29*b**(11/2)*x**7 - 2016*a**28*b**(13
/2)*x**8 + 864*a**27*b**(15/2)*x**9 - 216*a**26*b**(17/2)*x**10 + 24*a**25*b**(1
9/2)*x**11) - 4452*a**28*b**(7/2)*x**(7/2)/(-24*a**34*sqrt(b)*x**2 + 216*a**33*b
**(3/2)*x**3 - 864*a**32*b**(5/2)*x**4 + 2016*a**31*b**(7/2)*x**5 - 3024*a**30*b
**(9/2)*x**6 + 3024*a**29*b**(11/2)*x**7 - 2016*a**28*b**(13/2)*x**8 + 864*a**27
*b**(15/2)*x**9 - 216*a**26*b**(17/2)*x**10 + 24*a**25*b**(19/2)*x**11) + 12180*
a**27*b**(9/2)*x**(9/2)/(-24*a**34*sqrt(b)*x**2 + 216*a**33*b**(3/2)*x**3 - 864*
a**32*b**(5/2)*x**4 + 2016*a**31*b**(7/2)*x**5 - 3024*a**30*b**(9/2)*x**6 + 3024
*a**29*b**(11/2)*x**7 - 2016*a**28*b**(13/2)*x**8 + 864*a**27*b**(15/2)*x**9 - 2
16*a**26*b**(17/2)*x**10 + 24*a**25*b**(19/2)*x**11) - 20244*a**26*b**(11/2)*x**
(11/2)/(-24*a**34*sqrt(b)*x**2 + 216*a**33*b**(3/2)*x**3 - 864*a**32*b**(5/2)*x*
*4 + 2016*a**31*b**(7/2)*x**5 - 3024*a**30*b**(9/2)*x**6 + 3024*a**29*b**(11/2)*
x**7 - 2016*a**28*b**(13/2)*x**8 + 864*a**27*b**(15/2)*x**9 - 216*a**26*b**(17/2
)*x**10 + 24*a**25*b**(19/2)*x**11) + 21840*a**25*b**(13/2)*x**(13/2)/(-24*a**34
*sqrt(b)*x**2 + 216*a**33*b**(3/2)*x**3 - 864*a**32*b**(5/2)*x**4 + 2016*a**31*b
**(7/2)*x**5 - 3024*a**30*b**(9/2)*x**6 + 3024*a**29*b**(11/2)*x**7 - 2016*a**28
*b**(13/2)*x**8 + 864*a**27*b**(15/2)*x**9 - 216*a**26*b**(17/2)*x**10 + 24*a**2
5*b**(19/2)*x**11) - 15468*a**24*b**(15/2)*x**(15/2)/(-24*a**34*sqrt(b)*x**2 + 2
16*a**33*b**(3/2)*x**3 - 864*a**32*b**(5/2)*x**4 + 2016*a**31*b**(7/2)*x**5 - 30
24*a**30*b**(9/2)*x**6 + 3024*a**29*b**(11/2)*x**7 - 2016*a**28*b**(13/2)*x**8 +
864*a**27*b**(15/2)*x**9 - 216*a**26*b**(17/2)*x**10 + 24*a**25*b**(19/2)*x**11
) + 6972*a**23*b**(17/2)*x**(17/2)/(-24*a**34*sqrt(b)*x**2 + 216*a**33*b**(3/2)*
x**3 - 864*a**32*b**(5/2)*x**4 + 2016*a**31*b**(7/2)*x**5 - 3024*a**30*b**(9/2)*
x**6 + 3024*a**29*b**(11/2)*x**7 - 2016*a**28*b**(13/2)*x**8 + 864*a**27*b**(15/
2)*x**9 - 216*a**26*b**(17/2)*x**10 + 24*a**25*b**(19/2)*x**11) - 1820*a**22*b**
(19/2)*x**(19/2)/(-24*a**34*sqrt(b)*x**2 + 216*a**33*b**(3/2)*x**3 - 864*a**32*b
**(5/2)*x**4 + 2016*a**31*b**(7/2)*x**5 - 3024*a**30*b**(9/2)*x**6 + 3024*a**29*
b**(11/2)*x**7 - 2016*a**28*b**(13/2)*x**8 + 864*a**27*b**(15/2)*x**9 - 216*a**2
6*b**(17/2)*x**10 + 24*a**25*b**(19/2)*x**11) + 210*a**21*b**(21/2)*x**(21/2)/(-
24*a**34*sqrt(b)*x**2 + 216*a**33*b**(3/2)*x**3 - 864*a**32*b**(5/2)*x**4 + 2016
*a**31*b**(7/2)*x**5 - 3024*a**30*b**(9/2)*x**6 + 3024*a**29*b**(11/2)*x**7 - 20
16*a**28*b**(13/2)*x**8 + 864*a**27*b**(15/2)*x**9 - 216*a**26*b**(17/2)*x**10 +
24*a**25*b**(19/2)*x**11), Abs(b*x/a) > 1), (105*a**(59/2)*b**2*x**2*atanh(sqrt
(b)*sqrt(x)/sqrt(a))/(-12*a**34*sqrt(b)*x**2 + 108*a**33*b**(3/2)*x**3 - 432*a**
32*b**(5/2)*x**4 + 1008*a**31*b**(7/2)*x**5 - 1512*a**30*b**(9/2)*x**6 + 1512*a*
*29*b**(11/2)*x**7 - 1008*a**28*b**(13/2)*x**8 + 432*a**27*b**(15/2)*x**9 - 108*
a**26*b**(17/2)*x**10 + 12*a**25*b**(19/2)*x**11) - 945*a**(57/2)*b**3*x**3*atan
h(sqrt(b)*sqrt(x)/sqrt(a))/(-12*a**34*sqrt(b)*x**2 + 108*a**33*b**(3/2)*x**3 - 4
32*a**32*b**(5/2)*x**4 + 1008*a**31*b**(7/2)*x**5 - 1512*a**30*b**(9/2)*x**6 + 1
512*a**29*b**(11/2)*x**7 - 1008*a**28*b**(13/2)*x**8 + 432*a**27*b**(15/2)*x**9
- 108*a**26*b**(17/2)*x**10 + 12*a**25*b**(19/2)*x**11) + 3780*a**(55/2)*b**4*x*
*4*atanh(sqrt(b)*sqrt(x)/sqrt(a))/(-12*a**34*sqrt(b)*x**2 + 108*a**33*b**(3/2)*x
**3 - 432*a**32*b**(5/2)*x**4 + 1008*a**31*b**(7/2)*x**5 - 1512*a**30*b**(9/2)*x
**6 + 1512*a**29*b**(11/2)*x**7 - 1008*a**28*b**(13/2)*x**8 + 432*a**27*b**(15/2
)*x**9 - 108*a**26*b**(17/2)*x**10 + 12*a**25*b**(19/2)*x**11) - 8820*a**(53/2)*
b**5*x**5*atanh(sqrt(b)*sqrt(x)/sqrt(a))/(-12*a**34*sqrt(b)*x**2 + 108*a**33*b**
(3/2)*x**3 - 432*a**32*b**(5/2)*x**4 + 1008*a**31*b**(7/2)*x**5 - 1512*a**30*b**
(9/2)*x**6 + 1512*a**29*b**(11/2)*x**7 - 1008*a**28*b**(13/2)*x**8 + 432*a**27*b
**(15/2)*x**9 - 108*a**26*b**(17/2)*x**10 + 12*a**25*b**(19/2)*x**11) + 13230*a*
*(51/2)*b**6*x**6*atanh(sqrt(b)*sqrt(x)/sqrt(a))/(-12*a**34*sqrt(b)*x**2 + 108*a
**33*b**(3/2)*x**3 - 432*a**32*b**(5/2)*x**4 + 1008*a**31*b**(7/2)*x**5 - 1512*a
**30*b**(9/2)*x**6 + 1512*a**29*b**(11/2)*x**7 - 1008*a**28*b**(13/2)*x**8 + 432
*a**27*b**(15/2)*x**9 - 108*a**26*b**(17/2)*x**10 + 12*a**25*b**(19/2)*x**11) -
13230*a**(49/2)*b**7*x**7*atanh(sqrt(b)*sqrt(x)/sqrt(a))/(-12*a**34*sqrt(b)*x**2
+ 108*a**33*b**(3/2)*x**3 - 432*a**32*b**(5/2)*x**4 + 1008*a**31*b**(7/2)*x**5
- 1512*a**30*b**(9/2)*x**6 + 1512*a**29*b**(11/2)*x**7 - 1008*a**28*b**(13/2)*x*
*8 + 432*a**27*b**(15/2)*x**9 - 108*a**26*b**(17/2)*x**10 + 12*a**25*b**(19/2)*x
**11) + 8820*a**(47/2)*b**8*x**8*atanh(sqrt(b)*sqrt(x)/sqrt(a))/(-12*a**34*sqrt(
b)*x**2 + 108*a**33*b**(3/2)*x**3 - 432*a**32*b**(5/2)*x**4 + 1008*a**31*b**(7/2
)*x**5 - 1512*a**30*b**(9/2)*x**6 + 1512*a**29*b**(11/2)*x**7 - 1008*a**28*b**(1
3/2)*x**8 + 432*a**27*b**(15/2)*x**9 - 108*a**26*b**(17/2)*x**10 + 12*a**25*b**(
19/2)*x**11) - 3780*a**(45/2)*b**9*x**9*atanh(sqrt(b)*sqrt(x)/sqrt(a))/(-12*a**3
4*sqrt(b)*x**2 + 108*a**33*b**(3/2)*x**3 - 432*a**32*b**(5/2)*x**4 + 1008*a**31*
b**(7/2)*x**5 - 1512*a**30*b**(9/2)*x**6 + 1512*a**29*b**(11/2)*x**7 - 1008*a**2
8*b**(13/2)*x**8 + 432*a**27*b**(15/2)*x**9 - 108*a**26*b**(17/2)*x**10 + 12*a**
25*b**(19/2)*x**11) + 945*a**(43/2)*b**10*x**10*atanh(sqrt(b)*sqrt(x)/sqrt(a))/(
-12*a**34*sqrt(b)*x**2 + 108*a**33*b**(3/2)*x**3 - 432*a**32*b**(5/2)*x**4 + 100
8*a**31*b**(7/2)*x**5 - 1512*a**30*b**(9/2)*x**6 + 1512*a**29*b**(11/2)*x**7 - 1
008*a**28*b**(13/2)*x**8 + 432*a**27*b**(15/2)*x**9 - 108*a**26*b**(17/2)*x**10
+ 12*a**25*b**(19/2)*x**11) - 105*a**(41/2)*b**11*x**11*atanh(sqrt(b)*sqrt(x)/sq
rt(a))/(-12*a**34*sqrt(b)*x**2 + 108*a**33*b**(3/2)*x**3 - 432*a**32*b**(5/2)*x*
*4 + 1008*a**31*b**(7/2)*x**5 - 1512*a**30*b**(9/2)*x**6 + 1512*a**29*b**(11/2)*
x**7 - 1008*a**28*b**(13/2)*x**8 + 432*a**27*b**(15/2)*x**9 - 108*a**26*b**(17/2
)*x**10 + 12*a**25*b**(19/2)*x**11) - 8*a**31*sqrt(b)*sqrt(x)/(-12*a**34*sqrt(b)
*x**2 + 108*a**33*b**(3/2)*x**3 - 432*a**32*b**(5/2)*x**4 + 1008*a**31*b**(7/2)*
x**5 - 1512*a**30*b**(9/2)*x**6 + 1512*a**29*b**(11/2)*x**7 - 1008*a**28*b**(13/
2)*x**8 + 432*a**27*b**(15/2)*x**9 - 108*a**26*b**(17/2)*x**10 + 12*a**25*b**(19
/2)*x**11) + 399*a**29*b**(5/2)*x**(5/2)/(-12*a**34*sqrt(b)*x**2 + 108*a**33*b**
(3/2)*x**3 - 432*a**32*b**(5/2)*x**4 + 1008*a**31*b**(7/2)*x**5 - 1512*a**30*b**
(9/2)*x**6 + 1512*a**29*b**(11/2)*x**7 - 1008*a**28*b**(13/2)*x**8 + 432*a**27*b
**(15/2)*x**9 - 108*a**26*b**(17/2)*x**10 + 12*a**25*b**(19/2)*x**11) - 2226*a**
28*b**(7/2)*x**(7/2)/(-12*a**34*sqrt(b)*x**2 + 108*a**33*b**(3/2)*x**3 - 432*a**
32*b**(5/2)*x**4 + 1008*a**31*b**(7/2)*x**5 - 1512*a**30*b**(9/2)*x**6 + 1512*a*
*29*b**(11/2)*x**7 - 1008*a**28*b**(13/2)*x**8 + 432*a**27*b**(15/2)*x**9 - 108*
a**26*b**(17/2)*x**10 + 12*a**25*b**(19/2)*x**11) + 6090*a**27*b**(9/2)*x**(9/2)
/(-12*a**34*sqrt(b)*x**2 + 108*a**33*b**(3/2)*x**3 - 432*a**32*b**(5/2)*x**4 + 1
008*a**31*b**(7/2)*x**5 - 1512*a**30*b**(9/2)*x**6 + 1512*a**29*b**(11/2)*x**7 -
1008*a**28*b**(13/2)*x**8 + 432*a**27*b**(15/2)*x**9 - 108*a**26*b**(17/2)*x**1
0 + 12*a**25*b**(19/2)*x**11) - 10122*a**26*b**(11/2)*x**(11/2)/(-12*a**34*sqrt(
b)*x**2 + 108*a**33*b**(3/2)*x**3 - 432*a**32*b**(5/2)*x**4 + 1008*a**31*b**(7/2
)*x**5 - 1512*a**30*b**(9/2)*x**6 + 1512*a**29*b**(11/2)*x**7 - 1008*a**28*b**(1
3/2)*x**8 + 432*a**27*b**(15/2)*x**9 - 108*a**26*b**(17/2)*x**10 + 12*a**25*b**(
19/2)*x**11) + 10920*a**25*b**(13/2)*x**(13/2)/(-12*a**34*sqrt(b)*x**2 + 108*a**
33*b**(3/2)*x**3 - 432*a**32*b**(5/2)*x**4 + 1008*a**31*b**(7/2)*x**5 - 1512*a**
30*b**(9/2)*x**6 + 1512*a**29*b**(11/2)*x**7 - 1008*a**28*b**(13/2)*x**8 + 432*a
**27*b**(15/2)*x**9 - 108*a**26*b**(17/2)*x**10 + 12*a**25*b**(19/2)*x**11) - 77
34*a**24*b**(15/2)*x**(15/2)/(-12*a**34*sqrt(b)*x**2 + 108*a**33*b**(3/2)*x**3 -
432*a**32*b**(5/2)*x**4 + 1008*a**31*b**(7/2)*x**5 - 1512*a**30*b**(9/2)*x**6 +
1512*a**29*b**(11/2)*x**7 - 1008*a**28*b**(13/2)*x**8 + 432*a**27*b**(15/2)*x**
9 - 108*a**26*b**(17/2)*x**10 + 12*a**25*b**(19/2)*x**11) + 3486*a**23*b**(17/2)
*x**(17/2)/(-12*a**34*sqrt(b)*x**2 + 108*a**33*b**(3/2)*x**3 - 432*a**32*b**(5/2
)*x**4 + 1008*a**31*b**(7/2)*x**5 - 1512*a**30*b**(9/2)*x**6 + 1512*a**29*b**(11
/2)*x**7 - 1008*a**28*b**(13/2)*x**8 + 432*a**27*b**(15/2)*x**9 - 108*a**26*b**(
17/2)*x**10 + 12*a**25*b**(19/2)*x**11) - 910*a**22*b**(19/2)*x**(19/2)/(-12*a**
34*sqrt(b)*x**2 + 108*a**33*b**(3/2)*x**3 - 432*a**32*b**(5/2)*x**4 + 1008*a**31
*b**(7/2)*x**5 - 1512*a**30*b**(9/2)*x**6 + 1512*a**29*b**(11/2)*x**7 - 1008*a**
28*b**(13/2)*x**8 + 432*a**27*b**(15/2)*x**9 - 108*a**26*b**(17/2)*x**10 + 12*a*
*25*b**(19/2)*x**11) + 105*a**21*b**(21/2)*x**(21/2)/(-12*a**34*sqrt(b)*x**2 + 1
08*a**33*b**(3/2)*x**3 - 432*a**32*b**(5/2)*x**4 + 1008*a**31*b**(7/2)*x**5 - 15
12*a**30*b**(9/2)*x**6 + 1512*a**29*b**(11/2)*x**7 - 1008*a**28*b**(13/2)*x**8 +
432*a**27*b**(15/2)*x**9 - 108*a**26*b**(17/2)*x**10 + 12*a**25*b**(19/2)*x**11
), True))

_______________________________________________________________________________________

GIAC/XCAS [A]  time = 0.206188, size = 99, normalized size = 1.02 \[ \frac{35 \, b^{2} \arctan \left (\frac{b \sqrt{x}}{\sqrt{-a b}}\right )}{4 \, \sqrt{-a b} a^{4}} + \frac{2 \,{\left (9 \, b x + a\right )}}{3 \, a^{4} x^{\frac{3}{2}}} + \frac{11 \, b^{3} x^{\frac{3}{2}} - 13 \, a b^{2} \sqrt{x}}{4 \,{\left (b x - a\right )}^{2} a^{4}} \]

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]  integrate(1/((b*x - a)^3*x^(5/2)),x, algorithm="giac")

[Out]

35/4*b^2*arctan(b*sqrt(x)/sqrt(-a*b))/(sqrt(-a*b)*a^4) + 2/3*(9*b*x + a)/(a^4*x^
(3/2)) + 1/4*(11*b^3*x^(3/2) - 13*a*b^2*sqrt(x))/((b*x - a)^2*a^4)